Добавил:

Chupapi_Munyanya Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Высшая математика

Файл:

УрМатФиз / УрМатФиз с теорией

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.05.2024

Размер:

4.39 Mб

Скачать

☆

1 / 361 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

УДК 51

К 845

Утверждено учебным управлением МЭИ (ТУ) в качестве учебного пособия для студентов

Подготовлено на кафедре высшей математики Рецензенты: докт. техн. наук, проф. А.К. Гущин, докт. физ.-мат. наук, проф. В.А. Юдин

Крупин В.Г.

К 845 Высшая математика. Уравнения математической физики. Сборник задач с решениями : учебное пособие / В.Г. Крупин,

А.Л. Павлов, Л.Г. Попов. — М.: Издательский дом МЭИ, 2011. — 352 с. ISBN 978-5-383-00640-5

Пособие содержит задачи (по 30 вариантов каждой) из раздела высшей математики «Уравнения математической физики». Задачи охватывают следующие темы: задачи Коши для квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка; метод разделения переменных решения краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона в различных областях; начально-краевые задачи для уравнения теплопроводности и волнового уравнения; краевые задачи для уравнения Гельмгольца и интегрального уравнения Фредгольма II рода. Каждая глава пособия начинается с изложения теоретических сведений и разбора примера решения конкретной задачи.

Предназначено для студентов старших курсов, обучающихся по техническим специальностям, а также аспирантов и преподавателей.

Учебное издание

Крупин Владимир Григорьевич, Павлов Александр Леонидович,

Попов Леонид Глебович

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. Сборник задач с решениями

Учебное пособие

Редактор издательства Г.Ф. Раджабова

Темплан издания МЭИ 2010, учеб.		Подписано в печать 12.05.11
Печать офсетная	Формат 60×84/16	Физ. печ. л. 22,00
Тираж 516 экз.	Изд. № 75	Заказ

ЗАО «Издательский дом МЭИ», 111250, Москва, Красноказарменная ул., 14 Отпечатано в типографии ФКП «НИИ «Геодезия», 141292, Московская обл., г. Красноармейск, просп. Испытателей, д. 14

-,30 , .

		! ,
"		.

# $! $$ !

	.
# %& & -
	' (
,	, ! , ,

! , . ) $' . * % - -. + ' -, , , , -, , ! , ! .

# %& & % , ! , , .

- & $$ ! -. ) -& $$ !" . ( &

% . II -
. )
.
/	,
	-

0 % % ! $ -

	0. , & $ 1.0. 2 & -
	, $ 2.0. 3 ,

% ! -.

IR | CI |

IRn | n-

A = fz : :::g | z, ! - , "

A B | " A B #A | -B, B | A$

A , B | " A B


a 2 A a 62A \|			a		A, a
				A
9 x : ::: \| !			x, :::
9! x : ::: \| !			x,		:::
69 x : ::: \| ! & x, :::
8 x \| " & x
k =		\| k		" -
	1 n
		c N			1 n

C#D$ | ( ,D

Ck#D$ | ( , - ( k D

x) = #x1 ::: xk ::: xn$ | IRn xi i = 1 n

jx)j | #$ IRn jxj2 = x21 + ::: + x2n

@u @u @2u ux uy uxy | ( @x @y @x@y

grad u#)x$ | & " ( u#)x$ & & x) = #x1 ::: xn$

div a)#)x$ | & ( " & " a) rot )a#)x$ | & " a)

D | n-& & IRn . . "-x) 2 IRn

@D | D

= |

D D @D D

f x = O g x x ! a | f x g x

x ! a

f x = o g x x ! a | f x -g x

A = jjaijjj |

x ! a

AT = jjajijj | A

A 1 | A

jAj |

nk =

1 n = k

| #

0 n 6=k

E = jj nkjj |

res f

| z0

V:p:

A!+1 Z

f x dx

lim

f x dx |

erf x =

Z e

dz | % ,

lim

erf x = 1

x!+1

erfc x =

= 1 erf x |

'x =

=2dz

"1 + erf p

!# |

) -

x =

1 x

| *

0 x

+, | -+, |

., | /01, | 2 2

1.1.

!" .

n n

iX=1jX=1aij x

+F x u x

:::

!=0 x= x1 ::: xn

1:1:1

@xi@xj

@x1

@xn

2|4,

10|12!.

# $% &$ x = x1 : : : xn 2 D

IRn

$& %

aij x yiyj & Y AY

iX jX

1:1:2

' Y = y1 : : : yn T A = jjaij x jj

| $& ( .

) * ' + , +-

yi =

ciky~k

det jjcikjj 6= 0 & Y = CY

1:1:3

$& ( +

AC:

1:1:4

A = C

0 * +$, & + * ( - +-

	n		~
	kX		~
x~i =	kX	dikxk	det jjdikjj 6= 0 X = DX	1:1:5
x~i =		dikxk	det jjdikjj 6= 0 X = DX	1:1:5
	=1

1.1.1 $2 + 3- +- - % + , , :

n	n	2		u			n	n	2	U
	=1 aij x	@		u		=		=1 a~km x	@	U
=1	=1 aij x	@x	@x			=	=1	=1 a~km x	@x	@x
iX jX		i			j		mX kX		~m	~k

' u x1~x1 : : : x~n : : : xn~x1 : : : x~n U~x1 : : : x~n

a~km = X X aij x dkidmj

i=1 j=1


~	= DAD	T	:	1:1:6
A	= DAD		:	1:1:6

1.1.4 1.1.6 D = CT :

x ! " #$ %-

' 1.1.3 ! 1.1.2
:	n
	n	y2:
	X	y2:	:	:	7
		k ~k	1 1		7

k=1

" % , " ,

# "., , ". ". ! / , k

' ' ' %-

' 1.1.3 ". ".. 0 /

, !.

. 1. 1 / , " k 6=,0k = 1 n $

, , 1.1.1 " '

2. 1 / , " k 6=,0k = 1 n . - # " , " , , 1.1.1

" ' x, ,

n 1 / , $ , " ' -

, n m / , $

1 m n 1, " ' .

3.1 . ' %" / , k = 0, k = 1 n, ,-

1.1.1 " '

3 , 1.1.1 '

! " ". ". 1.1.5 ,

D = CT :

1.1. 5

, $ '

@2u

@2u @2u

@2u

+ 2

@2u

+ u = 0

1:1:8

@x2

+ 4

@y2 + @z2

@x@y

@x@z

$ .

2	2	2	4y1y2 + 2y1y3:
y1	+ 4y2	+ y3	4y1y2 + 2y1y3:

4y2y3 + 4y2y3 =

4y1y2 + 2y1y3 + 4y2 + y3

= y1 2y2 + y3

+ 4y2y3

1:1:9

= y~1

+ y~2

y~3

8 y~1 = y1 2y2 + y3

0 1

2 1 1

y~ = y

+ y

= C

= 0

1 1 :

@ 0

y~ = y

"# $ % 1.1.9 ' ,

) '* 1.1.8 .

,$ )
	0 1			1=2		3=2 1
C =	B		0	1=2		1=2	C	:
	B			1=2			C
	@ 0			1=2		1=2 A
. /* # % %0 1.1.5 )$ D = CT :
x~ = x							9
y~ =		1x +			1y +	1z			1:1:10
		2			2	2	=
z~ =		3x +			1y	1z
		2			2	2

) '* 1.1.8 .

' ) u x~x y~ z~ y~x y~ z~ z~x y~ z~U ~x y~ z~: 2 ' ) 3 '$ ) 0-

@U@x = @U@x~ @@xx~ + @U@y~ @x@y~ + @U@z~ @x@z~ = @U@x~ + 12 @U@y~ + 32 @U@z~ @U@y = 12 @U@y~ + 12 @U@z~

@y~

@z~

@2U

1 @U

@x2

@x~

2 @y~

2 @z~ ! =

@2U

9 @2U

@2U

+ 3

@2U

@x~2

@y~2

@z~2

@x@~ y~

@x@~

@y@~

@2U

1 @2U

@2U

@y@~

@y~

@z~

@2U

@2U 1

@2U

@z2

@y~2

@z~2

@y@~

@2U

1 @2U

3 @2U

@2U

@x@y

@x@~

@y@~ z~

@y~

@z~

@2U

1 @2U 3 @2U

@2U

@x@z

@x@~

@y@~ z~

@y~

@z~

, u x y z= = U ~x y~ z~: , -

! " " # $:

@2U

@2U @2U

+ U = 0

1:1:11

@x~

@y~

@z~

@y~

@z~

! = u x y z :

' U x 2

+ 2

2 +

. ( 1.1.8 ' ! " ' , +,- -

1.1.10 $ " " "

1.1.11 .

1.1. ., // 0 , ' $, -

" " " , " , ! -

, $+ " " " .

1.	@2u	3		@2u		= 0:
	@x@y		@x@z
2.	@2u	@2u				@2u		@2u
	@x2 +	@y2		2			2		= 0:
					@x@y			@y@z

@2u

= 0:

@y2

+ 3@z2

+ 4

@x@y

@x@z

@y@z

@2u

@2u @2u

@2u

= 0:

@x2

@y2 + @z2

+ 4

@x@y

@x@z

@y@z

@2u

= 0:

@x2

+ 2

@y2

+ 4

+ 5@z2

@x@y

@y@z

@2u

= 0:

@x2

+ 2

+ 4@y2

@z2

@x@y

@x@z

@2u

+ 2

@2u

+ 2

@2u

+ 2

@2u

= 0:

@x2

@x@y

@y2

@y@z

@z2

@2u

@2u @2u

@2u

= 0:

@x2

@y2

@z2 + 4

@x@z

@y@z

@2u

= 0:

@x2

+ 2

@y2 + 3@z2

@x@y

@y@z

10.

@2u

= 0:

@x2

@x@y

@y2

@y@z

@2u

11.

@y2

+ 3

@z2

+ 4

= 0:

@x@y

@x@z

@y@z

12.

@2u

+ 5

@2u

+ 2

@2u

+ 4

@2u

= 0:

@x2

@y2

@z2

@x@y

@x@z

@y@z

13.

@2u

= 0:

@x@y

@x@z

@y@z

14.

@2u

= 0:

@x2

@y2

@x@y

@y@z

15.

@2u

+ 5

@2u

+ 5

@2u

+ 4

@2u

= 0:

@x2

@y2

@z2

@x@y

@x@z

@y@z

@2u

= 0:

16.

@x2

+ 2

+ 3

+ 4@y2

+ 5

+ 6@z2

@x@y

@x@z

@y@z

1 / 361 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке УрМатФиз

#
16.05.20249.25 Mб0Bilety_po_urmatfizu_v0_9.docx
#
16.05.202417.63 Mб0Kachestvennaya_podgotovka_k_ekzu_21_goda_1.docx
#
16.05.2024207.5 Кб0Задача Коши для ДУ 1-го пор.docx
#
16.05.2024416.66 Кб0Общ. реш. ДУ 1-го пор..docx
#
16.05.2024147.34 Кб1Программа по Матфизике.pdf
#
16.05.20244.39 Mб2УрМатФиз с теорией.pdf